Racine et factorisation d'un polynôme (2) - Corrigé

Énoncé

On note `P` le polynôme défini sur `\mathbb{C}` par :  `P(z) = \sqrt{2} z^3 - 4z^2 + 4\sqrt{2} z - 4` .

1. Montrer que `\sqrt{2}` est racine de `P` .

2. En déduire une factorisation de `P` .

Solution

1. `P(\sqrt{2}) =\sqrt{2} \times (\sqrt{2})^3 - 4 \times (\sqrt{2})^2 + 4\sqrt{2} \times \sqrt{2} - 4= 0` .

2. On cherche `a , b` et `c` des réels tels que, pour tout `z \in \mathbb{C}` , `P(z) = (z- \sqrt{2})(az^2+bz+c)` .
On obtient le système
\(\begin{cases}a = \sqrt{2} \\b-\sqrt{2}a = -4 \\c-\sqrt{2}b = 4 \sqrt{2} \\-\sqrt{2}c = -4\end{cases}\)
qui équivaut à \(\begin{cases}a = \sqrt{2} \\b = -2 \\c = 2 \sqrt{2}\end{cases}\)

On obtient donc, pour tout \(z \in \mathbb{C}\) , \(P(z) = (z- \sqrt{2}) (\sqrt{2}z^2 -2z + 2\sqrt{2} )\) .